Systèmes Dynamiques et Problèmes d'Evolution

Cette thématique cible des problématiques issues du vivant (math-bio). Elles se composent de plusieurs thèmes complémentaires, essentiellement centrés sur l’analyse des problèmes d’évolution et sur la théorie des systèmes dynamiques dissipatifs réels :

  1. L’existence et régularité des solutions de ces systèmes,
  2. L’étude qualitative des solutions et leur comportement asymptotique.

Nous nous intéressons ainsi à des applications au vivant, particulièrement en dynamique des populations et neuroscience. Le groupe s’inscrit pleinement dans la thématique de la modélisation et de l’étude des systèmes complexes qui est le thème fédérateur de tout le laboratoire LMAH. On donne dans la suite une idée rapide des problématiques traitées dans ce groupe (se référer à la liste des publications, pour se faire une idée de l’expérience acquise par chacun des membres dans ce domaine).

  1. Analyse de problèmes d’évolution : existence et régularité.
    On s’intéresse à l'analyse de problèmes aux limites régis par des équations différentielles à coefficients opérateurs et provenant de diverses situations concrètes gouvernées par des EDP de type elliptique et parabolique. Nous y étudions en particulier le comportement précis des solutions de ces problèmes: existence et régularité des solutions, singularité au voisinage du bord ... L'intérêt des techniques opérationnelles est de permettre une étude unifiée de problèmes elliptiques et de fournir pour ceux-ci des conditions nécessaires et suffisantes d'existence, d'unicité et de régularité maximale des solutions. Les méthodes utilisées reposent sur la construction d'une formule explicite de représentation des solutions et sur l'analyse de la régularité de celle-ci en fonction des données.
    Pour la construction de cette formule explicite (qui contient des intégrales singulières) et son analyse, on utilise le calcul fonctionnel (et en particulier les puissances fractionnaires d'opérateurs), la théorie spectrale, la théorie des semi-groupes (notamment celle des semi-groupes analytiques) et l'interpolation. Les études sont menées, en général, dans 2 cadres fonctionnels distincts, le cadre L p (1 < p < +infini) et le cadre höldérien, les méthodes de résolution diffèrent
    suivant le cadre choisi.

    La maîtrise des techniques développées dans l'étude de ces divers problèmes est très précieuse car très utile dans la compréhension, l'analyse et la modélisation des systèmes complexes liés notamment aux modèles du vivant. ... Nous avons récemment utilisé cette maîtrise dans l'étude de problèmes de transmission pour des EDP d'ordre 2 et leurs applications en électrophysiologie liées à la cellule biologique (un article vient d'être publié à cet effet au journal JDE). Nos premières études d'équations elliptiques d'ordre 2 faisant intervenir des coefficients opérateurs ont été menées d'une part avec des conditions aux limites de type Dirichlet (ou Neumann) et d'autre part sous des hypothèses de commutativité (au sens des résolvantes) pour les opérateurs considérés. Or la résolution de nombreux problèmes aux
    limites concrets fait intervenir des équations différentielles opérationnelles du second ordre avec :

    • des conditions aux limites de type Robin scalaire ou opérationnel, voire même de type singulier (non local),
    • des opérateurs qui ne commutent pas.
    Nos recherches se sont donc naturellement tournées vers ce type de conditions aux limites généralisées et aussi vers
    l'étude de problèmes opérationnels où les hypothèses de commutativité ont été remplacées par des hypothèses plus
    générales de contrôle de certains commutateurs.

    Nous avons aussi modélisé certains problèmes de transmission concernant l'analyse de la flexion lorsqu'on a un
    assemblage de deux plaques minces rectangulaires isotropes, en faisant intervenir des équations opérationnelles
    particulières d'ordre quatre, dont on a fourni la résolution.

    Actuellement, nous travaillons sur des problèmes de transmission pour des EDP couplées Laplacien-Bilaplacien en vue
    d'une analyse complète d'une équation de diffusion généralisée non linéaire. Cette équation modélise en particulier une
    dynamique de population posée dans divers habitats juxtaposés et peut s'appliquer à certaines populations de cellules
    biologiques dont on souhaite étudier les différents comportements : croissance, diffusion. L'étude fait intervenir des
    équations opérationnelles d'ordre 2 et 4.

  2. Analyse de problèmes d’évolution : étude qualitative et systèmes dynamiques
    Dans ce même groupe travaillant sur les problèmes d’évolution et math-bio, une autre activité privilégie la théorie des systèmes dynamiques dissipatifs réels. Les outils utilisés sont ceux de l’étude qualitative des équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles, comportement asymptotique des solutions, bifurcations, chaos et
    synchronisation. Nous avons ainsi abordé des problèmes d’évolution essentiellement motivés par des applications en dynamique de populations ou en électrophysiologie et neuroscience. Nous nous intéressons particulièrement au comportement en temps long de solutions d’équations différentielles ou de réseaux complexes (i.e. portés par des
    graphes de connectivité diverses) basés sur des EDO ou des EDP. Cette analyse mathématique intègre notamment la théorie des semi-groupes, celle des attracteurs, l’analyse précise des bifurcations (Hopf, Turing, ...) ou l’analyse de systèmes lent-rapides. On se concentre essentiellement sur les applications suivantes.

    • Parmi les modèles décrivant les interactions entre les populations vivantes dans un environnement commun, les modèles proie-prédateur ou de chaînes trophiques jouent un rôle fondamental. Dans une première partie nous nous sommes penchés sur la modélisation et l’analyse de ce type de problèmes et avons essentiellement étudié le comportement asymptotique des solutions et leurs bornage, la stabilité globale des solutions d’équilibre, la permanence, la persistance, l’existence et l’unicité de solutions périodiques, les bifurcations qui surviennent sous l’effet de petites perturbations des paramètres, ainsi que les attracteurs associés. Les cas EDO et EDP sont pris en compte. Nous avons en effet proposé et étudié des modèles spatio-temporels, les espèces étudiées pouvant se mouvoir dans un certain espace
      (rectangle ou disque). En particulier, on détermine la typologie et la caractérisation des structures spatiales émergentes (patterns) en fonction de certains paramètres de contrôle (Bifurcation de Turing ou de Hopf). Nous étudions ainsi les conditions sous lesquelles les motifs spatiaux obtenus sont stationnaires ou varient de façon spatio-temporelle, les bifurcations globales (homoclines et hétéroclines), notamment l’existence de travelling waves (ondes progressives).

    • L’analyse de modèles en “neuroscience” (type FitzHugh-Nagumo -FHN- ou Hodgkin-Huxley –HH- ou Hindmarch-Rose –HR-)        devient de plus en plus important pour ce groupe de chercheurs du laboratoire.  Le fonctionnement d’un neurone, ou de réseaux de neurones, intéressent en effet de nombreuses disciplines scientifiques. Outre l’intérêt purement physiologique, cette discipline apporte des questions mathématiques profondes. Ces problèmes sont abordés ici en utilisant les outils des systèmes dynamiques (EDO, EDP), avec une orientation forte vers les systèmes complexes (réseaux et couplage, emergence, auto-organisation). Ces modèles mathématiques (FHN, HH, HR) peuvent en effet être couplés afin de pouvoir modéliser et étudier le comportement de réseaux, systèmes complexes au
      sein desquels émergent des propriétés, notamment lorsque l’on s’interroge sur les phénomènes de synchronization, qui soulignent des comportements “identiques” des noeuds (neurones) du réseau. Le travail mené tout au long de ce contrat peut être décliné en deux parties principales :
      – Analyse qualitative de modèles EDO ou EDP de fonctionnement d’un neurone (un noeud du réseau), avec une
      dynamique lente-rapide (essentiellement Hindmacsh-Rose, FHN, HH),
      – Analyse qualitative de réseaux composés de systèmes couplés identiques ou différents. Notamment des phénomènes
      de synchronisation (synchronisation identique –SI- et synchronization de bursts), emergence de patters, MMO (Mixed
      Mode oscillations) ...

      Cette dernière étude montre, en particulier, l’émergence de propriétés caractérisées par des lois (heuristiques) de puissance inverse. Dans ce cas, l’étude du phénomène de synchronisation identique (i.e. tous les noeuds du réseaux ont le même comportement au même moment) nous a permis de mettre en évidence que cette propriété ne dépend que du degré entrant des noeuds et non de la topologie ou de la taille du réseau. Par ailleurs, la SI sur le réseau étant très
      restrictive, nous nous sommes intéressés à un autre type de synchronization, celle de bursts, situation où n oscillateurs couplés émettent des poussées de potentiels d’action (oscillations en salves) débutant tous au même moment. Contrairement au cas de la SI, il n’existait pas d’algorithme de détection de ce type de synchronisation, nous en avons développé un.

      On s’est par ailleurs intéressé à des réseaux d'équations aux dérivées partielles couplées et au comportement en temps long de réseaux complexes, en particulier à n systèmes de réaction-diffusion à d variables de type FitzHugh-Nagumo – FHN-, voir [arXiv:1504.07763v2.]. Ce type de modélisation a un potentiel important pour les applications, par exemple on pourrait modéliser les différentes zones du cerveau par des EDP tandis que les couplages représentent les
      interactions entre les différentes zones. On peut citer trois contributions originales dans ce travail :
      - La démonstration de l’existence de l'attracteur global du réseau (systèmes de systèmes d’EDP), dans l'espace H=(L^2(Omega))^(nd). Ce travail généralise au réseau les résultats obtenus dans le cas d'un seul nœud du réseau (i.e. un seul système de réaction-diffusion de type FHN). Pour ce faire, il a fallu extraire les éléments clés (bornés absorbants et compacité ...), utilisées dans le cas d'un nœud, et imposer des conditions sur les structures des systèmes et du réseau qui permettent la généralisation. Ces conditions sont vérifiées par une large variété de réseaux.
      - La démonstration de la synchronisation identique au sein de l'attracteur, une fois l'existence de celui-ci établie. Cette partie comprend des résultats utilisant la théorie des fonctions de Lyapunov, et d’autres issus de la théorie des graphes (calculs de longueurs d'arcs dépendant directement de la topologie du réseau). Ce travail (de notre point de vue complètement original dans le cas EDP) généralise à des réseaux de réaction-diffusion des résultats obtenus par d’autres
      auteurs pour des réseaux d'EDO.

      - La démonstration de la synchronisation identique au sein de l'attracteur, une fois l'existence de celui-ci établie. Cette partie comprend des résultats utilisant la théorie des fonctions de Lyapunov, et d’autres issus de la théorie des graphes (calculs de longueurs d'arcs dépendant directement de la topologie du réseau). Ce travail (de notre point de vue complètement original dans le cas EDP) généralise à des réseaux de réaction-diffusion des résultats obtenus par d’autres auteurs pour des réseaux d'EDO.

      - Des simulations numériques conséquentes ont été effectuées. Elles relient, de manière inédite, la synchronisation et l'hétérogénéité spatiale rendue possible par l'ajout de la composante spatiale par rapport aux réseaux d'EDO habituellement considérés. On montre ainsi que de manière générale les lois heuristiques de synchronisation (lois de type puissance inverse, voir ci-dessus) demeurent valables, avec l'ajout de la dimension spatiale et l'hétérogénéité spatiale induite soit par les conditions initiales soit par l'ajout d'un terme dépendant le l'espace dans l'équation. Il est toutefois établi numériquement que l'hétérogénéité spatiale augmente les seuils de synchronisation. Enfin, les propriétés de symétries et de persistance des patterns sont également illustrées. Une thèse soutenue à
      l’automne 2015 rentre dans cet axe, une autre est en cours.