Systèmes Aléatoires

L'étude des valeurs extrêmes intervient naturellement dans plusieurs situations de la vie réelle:

  • Catastrophes naturelles : les inondations, les températures et les vents extrêmes peuvent causer des dégâts humains et matériels considérables si la société ne s'est pas préparée. De telles catastrophes ne peuvent pas toujours être évitées, cependant la société peut prendre des actions préventives pour minimiser leurs effets. Des mesures de ces phénomènes, prises dans le passé, en particulier les plus grandes, peuvent être utilisées pour se prémunir contre ces catastrophes.

  • Pollution de l'air : la concentration d'un polluant est exprimée en terme de proportion d'un polluant spécifique présent dans l'air. Ces concentrations sont mesurées à des intervalles réguliers dans le temps. Le but est de garder la plus grande mesure en dessous d'un certain seuil.

  • Assurance : les phénomènes cités ci-dessus peuvent causer à leur tour des pertes importantes dans le monde de l'assurance (ou de la réassurance) et de la finance. Les spécialistes de ces services peuvent faire face à de telles situations, tant que les pertes encourues ne dépassent pas un certain seuil.

Dans ce cadre, des statistiques convenablement choisies, modélisant ces phénomènes, sont introduites et étudiées. Les estimations en question peuvent être basées sur les statistiques d'ordres ou alternativement sur les valeurs records. Ces problèmes font intervenir, d'une manière naturelle, la variation régulière des queues de distributions.

L'estimation de la vie résiduelle moyenne et d'autres statistiques associées jouent un rôle important dans les domaine de la fiabilité et l'analyse de survie. Nous proposons des estimateurs du type noyau. Nous étudions, entre autres, les propriétés asymptotiques de ces estimateurs. En reliant la fonction de survie à celle d'auto-régression des valeurs
records, nous obtenons aussi des prédictions des valeurs records futures. Dans le même esprit, nous nous intéressons à l'estimation du point critique de la vie résiduelle moyenne.

L'étude des populations de taille finie et de leurs distributions à l'aide de la régression de statistiques d'ordre adjacentes, sous un échantillonnage sans remise, nous à permis de caractériser ces populations et de montrer que lorsque la taille de la population tend vers l'infini, les lois asymptotiques coïncident avec le cas i.i.d. classique. Ce travail peut être
également généralisé aux régressions de valeurs records adjacentes.

Un autre centre d'intérêt est l'étude des statistiques de rang pour des modèles semi-paramétriques multivariées basées sur des copules. Une copule est caractérisée par un paramètre d'association et les fonctions de répartition marginales. On s'intéresse, entre autres, à l'estimateur de pseudo-vraisemblance de ce paramètre d'association. Une première
approche est de supposer que les fonctions de répartition marginales sont égales et d'exprimer cet estimateur sous forme d'une statistique de rang, pour obtenir ses propriétés asymptotiques.

Par ailleurs, dans un Système de Gestion de Bases de Données (SGBD) Temps Réel, l'objectif est de respecter à la fois les contraintes logiques (contraintes d'intégrité) et les contraintes temporelles (chaque transaction doit respecter son échéance). Dans la pratique, ce double objectif est difficile à atteindre. Les causes sont liées, entre autres, à l'incapacité de ces systèmes à prévoir les temps d'accès aux nombreuses données de la base et aux différents périphériques d'une part, et aux problèmes engendrés par la complexité du contexte distribué, d'autre part. Le travail consiste à effectuer une étude probabiliste et statistique des différents aspects des transactions temps réel (probabilité d'accès aux données en mémoire centrale, probabilité de pannes de réseau et/ou de site dans le cas distribué,...). L'objectif est de proposer des modèles probabilistes permettant de maîtriser et de contrôler le comportement des transactions temps réel, de manière à optimiser les performances des SGBD Temps Réel.