Systèmes Dynamiques et Problèmes d'Evolution

Ce groupe de chercheurs oriente ses activités vers des problématiques issues du vivant (math-bio). Elles se composent de plusieurs thèmes complémentaires, essentiellement centrés sur l’analyse des problèmes d’évolution et sur la théorie des systèmes dynamiques dissipatifs réels :

  1. L’existence et régularité des solutions de ces systèmes,
  2. L’étude qualitative des solutions et leur comportement asymptotique

Nous nous intéressons ainsi à des applications au vivant, particulièrement en dynamique des populations et neuroscience. Le groupe s’inscrit pleinement dans la thématique de la modélisation et de l’étude des systèmes complexes qui est le thème fédérateur de tout le laboratoire LMAH. On donne dans la suite une idée rapide des problématiques traitées dans ce groupe (se référer à la liste des publications, pour se faire une idée de l’expérience acquise par chacun des membres dans ce domaine).

  1. Analyse de problèmes d’évolution : existence et régularité.
    On s’intéresse ici à l'analyse de problèmes aux limites régis par des équations différentielles à coefficients opérateurs et provenant de diverses situations concrètes gouvernées par des EDP de type elliptique et parabolique. Nous y étudions en particulier le comportement précis des solutions de ces problèmes: existence et régularité des solutions, singularité au voisinage du bord ... L'intérêt des techniques opérationnelles est de permettre une étude unifiée de problèmes elliptiques et de fournir pour ceux-ci des conditions nécessaires et suffisantes d'existence, d'unicité et de régularité maximale des solutions. Les méthodes utilisées reposent sur la construction d'une formule explicite de représentation des solutions et sur l'analyse de la régularité de celle-ci en fonction des données.
    Pour la construction de cette formule explicite (qui contient des intégrales singulières) et son analyse, on utilise le calcul fonctionnel (et en particulier les puissances fractionnaires d'opérateurs), la théorie spectrale, la théorie des semi-groupes (notamment celle des semi-groupes analytiques) et l'interpolation. Les études sont menées, en général, dans 2 cadres fonctionnels distincts, le cadre L p (1 < p < +infini) et le cadre höldérien, les méthodes de résolution diffèrent
    suivant le cadre choisi.

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  2. Analyse de problèmes d’évolution : étude qualitative et systèmes dynamiques
    Cette partie est dédiée à l'étude des problèmes d’évolution et math-bio et privilégie la théorie des systèmes dynamiques dissipatifs réels. Les outils utilisés sont ceux de l’étude qualitative des équations différentielles ordinaires ou aux dérivées partielles, comportement asymptotique des solutions, bifurcations, chaos et
    synchronisation. Nous avons ainsi abordé des problèmes d’évolution essentiellement motivés par des applications en dynamique de populations ou en électrophysiologie et neuroscience. Nous nous intéressons particulièrement au comportement en temps long de solutions d’équations différentielles ou de réseaux complexes (i.e. portés par des
    graphes de connectivité diverses) basés sur des EDO ou des EDP. Cette analyse mathématique intègre notamment la théorie des semi-groupes, celle des attracteurs, l’analyse précise des bifurcations (Hopf, Turing, ...) ou l’analyse de systèmes lent-rapides. On se concentre essentiellement sur les applications suivantes.

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