ACTIVITES de RECHERCHE (Aziz Alaoui)

Mots Clés : Equations différentielles, Systèmes dynamiques (continus, discrets `mappings'), chaos, attracteurs étranges, multi-spirales, chaotification, synchronisation, contrôle, bifurcation, dynamique des populations.

Note introductive :

Le but essentiel est l'étude qualitative des solutions de certains systèmes différentiels continus ou discontinus (type Fillipov), ainsi que certains systèmes discrets, pouvant présenter du chaos, et la compréhension de certains phénomènes non linéaires :

Thèmes de Recherche :

- La stabilité et le chaos dans des modèles mathématiques d'écosystèmes à trois espèces (dyn. pop.), basés sur les schémas de Leslie-Gower, de Lotka-Volterra et de Holling type II ou III, sont théoriquement et numériquement étudiés, grâce aux outils de la stabilité des systèmes dynamiques et ceux issus de la théorie du chaos.
- L'étude de la synchronisation du chaos dans les systèmes dynamiques continus et chaotiques ainsi que la reconstruction des orbites et l'identification des paramètres de systèmes dynamiques chaotiques discrets et linéaires par morceaux (shadowing).
- De nouveaux attracteurs étranges sont présentés et étudiés, la notion de chaos multi-spirale est développée et reliée à celle de chaotification, des applications en sont données.
- Par ailleurs, un endomorphisme du plan est présenté et étudié. C'est une approximation de l'application de Lozi, `intermédiaire' entre cette dernière et celle de Hénon. La principale motivation est de développer une application qui peut être plus facilement traitée sur le plan analytique que celle de Hénon, et qui cependant garde l'essentiel des caractéristiques de la dynamique de cette dernière.

Les travaux réalisés ou en cours poursuivent un triple but : AVANT, PENDANT et APRES le CHAOS. En effet ils s'inscrivent dans une thématique générale visant à mieux comprendre les phénomènes survenant~:
AVANT~ le chaos, c'est-à-dire la stabilite' des solutions puis la transition vers le chaos.
PENDANT~ le chaos, c'est-à-dire la compréhension des structures de certains attracteurs chaotiques.
APRES~ le chaos, c'est-à-dire l'étude des applications possibles et l'utilisation du chaos (synchronisation, anti-synchronisation, contrôle), applications dans les sécurités de communication par exemple ou en écologie.
On peut rajouter à ce dernier point les nouvelles notions de chaotification.

Partie 1 .

Stabilité, chaos et analyse de la dynamique de modèles d'écosystèmes à trois espèces :
Un modèle original d'un écosystème à trois espèces, basé sur les schémas de Leslie-Gower et de Lotka-Volterra, est étudié. Des résultats théoriques sur l'existence et la stabilité des solutions stationnaires (solutions correspondants à des situations où l'écosystème est en équilibre, la densité de chaque espèce est alors fixée) sont donnés. De même que d'autres sur le comportement de l'écosystème lorsque le prédateur en haut de la chaîne alimentaire (ici Z ) présente une densité négligeable ou a disparu. Une étude numérique précise est faite. Les régions de paramètres utilisés dans les tests numériques sont issues de mesures expérimentales et rendent ainsi ce travail assez `réaliste'. Elle montre que ce type de systèmes peut avoir une évolution temporelle chaotique. Des bifurcations de Hopf sont identifiées ainsi que quelques cascades de dédoublement de périodes. Nous avons aussi observé un comportement intermittent du type-I, ce qui suggère que l'écosystème étudié peut brutalement passer d'une situation régulière à une autre chaotique, sans que cela soit l'effet de facteurs externes tels qu'une épidémie ou des variations climatiques soudaines et significatives ; après un certain temps, l'écosystème reprend son comportement régulier. Lorsque le taux de croissance du prédateur Z est assez important, des phénomènes de bistabilité sont trouvés. Ce sont les situations où deux attracteurs différents, chacun avec son propre bassin d'attraction, coexistent pour les mêmes paramètres, mais pour des conditions initiales distinctes. Dans une telle situation, un changement significatif dans le climat ou une épidémie par exemple peuvent provoquer un changement qualitatif du système en le faisant passer d'un attracteur à un autre, l'écosystème passant alors d'une dynamique à une autre. Par exemple, l'évolution en temps de la population peut, après une épidémie, être régulière et devenir irrégulière, ou vice versa . Un autre comportement particulier rencontré est celui correspondant à une orbite homocline. Les densités des trois populations sont alors presque constantes durant un intervalle de temps fini pour ensuite présenter brusquement de grandes oscillations. Enfin, le comportement de l'écosystème à trois espèces peut être approché via l'étude d'une seule espèce. Dans ce but, des techniques de reconstruction globale de champ de vecteurs sont appliquées ; elles permettent, directement à partir d'une série temporelle, d'extraire un modèle sensé reproduire le système initial. Le système d'équations différentielles obtenu est alors validé par une caractérisation topologique (schématisation de la configuration de la trajectoire représentative de l'évolution temporelle du système étudié). Enfin, nous comparons grâce à ces techniques le système précédent à un autre système assez voisin mais dans lequel le super-prédateur Z est supposé être un vertébré.

Conclusion sur l'étude du modèle de dynamique des populations :
Un modèle d'un écosystème à trois présentant l'originalité d'être basé sur un schéma de Lotka-Volterra couplé à un schéma de de Leslie-Gower, est étudié. Des résultats théoriques sur l'existence et la stabilité des points stationnaires (solutions correspondants à des situations où l'écosystème est complètement en équilibre et la densité de chaque espèce fixée) sont donnés, ainsi que sur le comportement de l'écosystème lorsque le prédateur en haut de la chaîne alimentaire (ici Z ) présente une densité négligeable ou a disparu. Une exploration numérique précise en est aussi effectuée. Les régions de paramètres utilisés dans les tests numériques sont issues de mesures expérimentales et rendent ainsi ce travail assez `réaliste'. Elle montre que ce type de systèmes peut avoir une évolution dans le temps et un comportement chaotiques. Des bifurcations de Hopf sont identifiées de même que quelques cascades de dédoublement de période. Nous avons aussi observé un comportement intermittent du type-I. Celui-ci suggère que l'écosystème étudié peut brutalement passer d'une situation régulière à une autre chaotique, sans que cela soit l'effet de facteurs externes tels qu'une épidémie ou des variations climatiques soudaines et significatives. Après un certain temps, l'écosystème reprend son comportement régulier. Lorsque le taux de croissance du prédateur Z est assez important, des phénomènes de bistabilité sont trouvés. Ce sont les situations où deux attracteurs différents, chacun avec son propre bassin d'attraction, coexistent pour les mêmes paramètres et pour des conditions initiales distinctes. Dans une telle situation, un changement significatif dans le climat ou l'arrivée d'une épidemie par exemple peuvent provoquer un changement qualitatif du système, en le faisant passer d'un attracteur à un autre, l'écosystème passant alors d'une dynamique à une autre. Par exemple, l'évolution en temps de la population peut, après une épidemie, être régulière puis devenir irrégulière, ou vice versa . Un autre comportement particulier rencontré est celui correspondant à une orbite homocline. Les densités des trois populations sont alors presque constantes durant un intervalle de temps fini, pour ensuite présenter brusquement de grandes oscillations.

Partie 2 .

Synchronisation du chaos dans les systèmes dynamiques continus :
Certains systèmes chaotiques possèdent des propriétés d' auto-synchronisation , c'est-à-dire qu'on peut les décomposer en deux sous-systèmes, l'un maître , l'autre esclave , pouvant se synchroniser sous l'effet d'un couplage avec un signal commun. D'où la possibilité de %Ils ont ainsi réussi à démontrer que le chaos peut être maîtriser et même d'exploiter le chaos. Comme exemples d'applications, on peut citer l'utilisation du chaos dans l'accroissement de la puissance d'un LASER, le contrôle des petites perturbations intervenant lors de son réglage qui gênent la finesse du faisceau; le contrôle des oscillations dans des réactions chimiques; la synchronisation des entrées de circuits électriques dans le codage des messages électroniques pour une meilleure sécurité dans les communications, etc... . Dans tous les schémas proposés en sécurité de communication et utilisant les idées de synchronisation, il existe un bruit inévitable qui dégrade la qualité du message transmis. Dans cette partie, on analyse les erreurs commises sur le signal récupéré dans le cas des systèmes de Chua et de Bonhoeffer-Van Der Pol ; nous donnons un algorithme de réduction de bruit et montrons la possibilité de l'améliorer par connexion en cascade de deux systèmes receveurs identiques.
Conclusion : Malgré les recherches considérables qui existent, particulièrement dans le domaine de la synchronisation des systèmes chaotiques et de la transmission de l'information, ce champ n'est encore qu'à ses débuts ; le comportement dynamique très riche des systèmes chaotiques a certainement beaucoup plus à offrir à ce type d'applications, qu'à d'autres, en ingénierie.

Partie 3 .

Synchronisation et anti-synchronisation du chaos, reconstruction des orbites et identification des paramètres de systèmes dynamiques chaotiques linéaires (ou continus) par morceaux :
Dans cette partie nous développons de nouvelles notions de synchronisation (et d'anti-synchronisation) appliquées aux applications de l'intervalle ou du plan, présentant du chaos. Elles sont différentes de celles, classiques, utilisées dans la partie précédente sur les équations différentielles, car elles ne requièrent pas la synchronisation de sous-systèmes du système initial. Ceci nous a amené à nous intéresser, particulièrement, à la reconstruction de trajectoires de systèmes discrets chaotiques, et linéaires par morceaux en dimension une ou deux. Ce type de recherche est étroitement relié aux notions de `shadowing' dans les systèmes dynamiques, qui sont importantes sur le plan du calcul numérique, et peut par ailleurs avoir beaucoup d'applications, comme en sécurité de communication utilisant le chaos. Comme suite naturelle de l'idée précédente, nous avons développé une nouvelle notion assez voisine, mais qui concerne cette fois-ci la identification des paramètres du système chaotique (et non des orbites). La motivation de ce type de recherches réside dans le fait que les paramètres du système peuvent jouer le rôle de clé de codage (en théorie de l'information par exemple) pour les signaux générés par le système. Ceci peut aussi trouver des applications dans le domaine de sécurité de communication des systèmes de transmission ou dans la théorie du codage, car en modifiant la fonction générant le chaos, par variation d'un paramètre, et en utilisant les algorithmes développés ici, on peut récupérer le paramètre initial.

Partie 4 .

Nouveaux attracteurs étranges, chaos multi-spirales et chaotification :
A l'inverse de la théorie de la synchronisation du chaos assez bien explorée depuis les travaux de Pecora et Caroll 1990, ou de celle du contrôle du chaos (bien connue depuis les travaux `OGY': Ott, Grebogi et Yorke, 1990), %beaucoup de recherches sont penchés, très récemment, sur les notions de chaotification de systèmes, linéaires ou non linéaires, (appelées aussi anti-contrôle du chaos) se sont récemment développées. Ces techniques très nouvelles permettent de rendre chaotique un système qui ne l'est pas (ou de le rendre `plus' chaotique). Elles peuvent avoir un potentiel important d'applications telles que celles rencontrées dans le domaine de la médecine (par exemple dans la régulation des battements cardiaques), des réseaux de neurones ou aussi de sécurité des communications. Partant du système de Chua, on développe dans cette partie la notion de chaos multi-spirales . En effet, le `double scroll' de Chua, qui est le nom donné au classique attracteur chaotique présenté par le circuit électrique de Chua, est composé de deux spirales du type R\"ossler reliées entre elles de facon à produire un seul attracteur chaotique à deux spirales. Un attracteur multispirale peut en exhiber plus de deux. Le même principe de chaotification est appliqué à d'autres systèmes différentiels autonomes, ayant des non-linéarités autres que celles de Chua. La notion de multi-plis est brièvement présentée dans cette partie, elle concerne quelques applications du plan comme celle de Hénon et celle de Lozi. Par ailleurs, on rapporte la `découverte' d'un nouvel attracteur étrange exhibé par un nouveau système linéaire par morceaux. La dynamique asymptotique de ce dernier est étudiée.

Conjecture : Pour tout n dans IN^* , n >=2 , il existe un ensemble non vide de paramètres B_n tel que chacun de ces systèmes présente des attracteurs étranges à n spirales, avec la relation B_n inclus dans B_{n+2} .

En Conclusion sur ce paragraphe dans lequel on rapporte la `découverte' de nouvel attracteurs étranges, on peut noter deux aspects importants expliquant l'intérêt de ce genre de travail. Le premier, déjà précisé au début, est la possibilité d'implémenter un circuit électronique dont la dynamique est représentée par ce système. Le deuxième aspect plus mathématique, généralement commun à tous les systèmes PWL, réside dans la possibilité de déduire de ces systèmes une application de Poincaré sous forme analytique (pas seulement numérique). Ce dernier point est en préparation pour le système présenté ici.

Partie 5 .

Dynamique d'une application chaotique du type Hénon-Lozi :
Dans cette partie, on s'intéresse à l'application de Hénon et celle de Lozi qui en donne une approximation linéaire par morceaux. Contrairement au cas de l'attracteur de Lozi, il n'y a pas de preuve théorique sur le comportement chaotique de celui de Hénon. Ce dernier est très difficile à analyser. Nous présentons ici une nouvelle application, notée L(a,b,epsilon), approximation C^1 de l'application de Lozi et `intermédiaire' entre cette dernière et celle de Hénon. La principale motivation est de développer une application qui peut être plus facilement traitée sur le plan analytique que celle de Hénon, et qui cependant garde l'essentiel des caractéristiques de la dynamique de cette dernière. Le travail présenté ici est un premier pas dans cette voie. Les résultats numériques obtenus nous confortent dans l'idée que cette nouvelle application possède effectivement une dynamique du type de celle de Hénon.

Quelques Applications :

Communications et chaos (synchronisation et contrôle, chaotification)
Communications à accès multi-utilisateurs (synchronisation et contrôle, chaotification)
Sécurité de communication en optique (laser) (récupération des paramètres d'un système chaotique)
Dynamique des populations
Physiologie humaine
Problèmes en éléctronique, mécanique, ... modélisés par des équations discontinues ...
...

Conclusion et travaux en cours :

Actuellement, mes recherches se poursuivent sur les mêmes thèmes. En particulier, la théorie mathématique qui se cache derrière la synchronisation du chaos, nécessite encore un certain approfondissement. De même, dans le domaine de la reconstruction des orbites et de l'identification des paramètres de systèmes discrets (synchronisation et anti-synchronisation) beaucoup de problèmes restent ouverts. En particulier, dans une première étape, il reste à étendre certains résultats théoriques aux systèmes en dimension deux. Les premières tentatives en dimension deux restent limitées à des cas particuliers, même si numériquement nous avons écrit des algorithmes assez efficaces pour les systèmes dynamiques discrets et linéaires par morceaux. Il serait aussi très intéressant, concernant le problème étudié en dynamique des populations, de mieux comprendre la dynamique des systèmes et d'essayer de déterminer, avec une meilleure précision, les orbites homoclines existantes, ainsi que la façon dont elles se cassent pour générer du chaos. L'étude de versions perturbées de ces modèles, versions prenant en compte les fluctuations et les variations existantes en milieu naturel ainsi que les effets de saisonnalité, s'impose. Certains paramètres constants du système sont alors remplacés par d'autres variant périodiquement dans le temps. Il est très excitant de penser qu'on pourrait arriver à une preuve théorique de l'existence du chaos dans l'application de Hénon et pour une ensemble de paramètres de mesure non nulle ((Pour un point dans l'espace des paramètres,(a,b)=(1.4,0.3), dans Misurewiz-szewc, il est montré l'exitence d'un point homocline transverse, caractérsiant ainsi le chaos pour ces valeurs particulières dans l'application de Hénon. Pour |b| très petit, des résultats intéressants existent dans Marotto79, BC1991)). Peut être qu'avec des idées comme celles rapportées ici, on pourrait faire avancer ce problème, au moins, dans un premier temps, en établissant des résultats théoriques du type quasi-hyperbolicité faible, à la façon de L.S. Young, ou de rupture d'hyperbolicité. Enfin les notions de chaotification (réhausser le chaos dans les systèmes chaotiques ou rendre chaotique des systèmes qui ne le sont pas) sont encore relativement nouvelles, les attracteurs multi-spirales ouvrent de nouvelles voies de recherches et d'applications.

Multi-Attractors Demonstrations (Gallery of Multi-spiral Strange attractors)