Dans ce travail avec Loïc Hervé de l'INSA Rennes - IRMAR, nous étudions divers aspects du flot d'une EDO non linéaire autonome induite par un champ de vecteurs b régulier dans le tore. Nous présentons un tableau de toutes les connections logiques entre : la convergence du flot partout et presque partout dans le tore, la rectification du champ b, l'ergodicité du flot associé, la condition de singleton de l'ensemble de rotation d'Herman C(b) et de celui de l'ensemble D(b) composé des moyennes de b par rapport aux mesures invariantes pour le flot qui absolument continues par rapport à la mesure de Lebesgue, et enfin l'homogénéisation de l'équation de transport linéaire avec la vitesse rapidement oscillante b(nx), n tendant vers l'infini. Le résultat principal montre que les trois conditions suivantes : le comportement asymptotique presque partout du flot, la condition de singleton pour D(b) et l'homogénéisation de l'équation de transport lorsque b est à divergence nulle, sont équivalentes. Au contraire, en étendant des résultats bidimensionnels sur le flot de Stepanoff en toute dimension, nous montrons que le flot peut-être ergodique sans satisfaire le comportement asymptotique partout dans le tore.
