Soit \(B\) la boule unitée de \(\mathbb{R}^N\) centrée à l'origine.
On étudiera les propriétés de symétrie des minimiseurs de la fonctionnelle
\[
J(v)= \frac{\displaystyle\int_B |x|^{\alpha} |\nabla v|^2 \, dx }{\left( \displaystyle\int_{ B } |x|^{\alpha } |v|^q \, dx \right) ^{2/q} }\,,\quad\quad v\in W^{1,2} (B, |x|^\alpha), \quad \displaystyle \int_{B}|x|^{\alpha} v\, dx=0\,,
\]
où \(2\leq q< 2^*\) et \({-N<\alpha< N}\).
On montrera que les minimiseurs sont à symétrie sphérique pour tout \(\alpha\). En dimension 2, à moins d'une rotation, on peut donc supposer qu'ils soient symétriques par rapport à \(x_1\), si \(x=(x_1,x_2)\).
Par rapport à \(x_2\), on montrera qu'ils sont antisymétriques pour \(q=2\) et qu'ils ne le sont pas si \(q\) est suffisamment grand.
Ces résultats ont été motivés par des phénomènes de perte de symétrie observés par D. Smets, J. Su et M. Willem pour les minimiseurs de
la fonctionnelle
$$
v\in H^1_0(B)\to \frac{\displaystyle\int_B |\nabla v|^2 \, dx }{\left( \displaystyle\int_{ B } |x|^{\alpha } |v|^q \, dx \right) ^{2/q} }\,,
$$
et par P. Girão et T. Weth pour la fonctionnelle \(J\) dans le cas \(\alpha=0\).
Ce travail est en collaboration avec F. Brock, F. Chiacchio et A. Mercaldo.
