Journée de rencontres EDP et applications :

Workshop on PDE and their applications

In honor of Rabah Labbas, on the occasion of his retirement

Monday June 25, 2018

LMAH, Le Havre - Normandie

The Applied Mathematics Department of Le Havre Normandie University (LMAH) organizes a one day workshop on partial differential equations and theirs applications.

• Chérif Amrouche, Université de Pau et des pays de l'Adour.
• Adel Blouza, Université de Rouen.
• Nicolas Forcadel, Insa de Rouen.
• Kamel Hamdache, Pôle Léonard de Vinci, DVRC La défense Paris.
• Stéphane Maingot, Université Le Havre Normandie.
• Ahmed Medeghri, Université de Mostaganem, Algérie.
• El Maati Ouhabaz, Université Bordeaux 1.

Program

• 09h30: Opening


• 09h40-10h20: Chérif Amrouche
  Elliptic problems in smooth and non smooth domains.
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Chérif Amrouche (LMAP, Université de Pau et des pays de l'Adour), Mohand Moussaoui (ENS, Kouba, Alger), Huy Hoang Nguyen (Univ. Fed. Rio de Janeiro).
Elliptic problems in smooth and non smooth domains
We are interested here in questions related to the regularity of solutions of elliptic problems \[ \mathrm{div}\, (A \nabla\, u) = f \quad \mathrm{in}\quad \Omega \] with Dirichlet or Neumann boundary condition (see [1]). For the last 20 years, lots of work has been concerned with questions when \(\Omega\) is a Lipschitz domain. We give here some complements for the case of the Laplacian (see [3]), the Bilaplacian ([2],[6]) and the operator \(\mathrm{div}\, (A \nabla)\) (see [5]), when \(A\) is a matrix or a function, and we extend this study to obtain other regularity results for domains having an adequate regularity. Using the duality method, we will then revisit the work of Lions-Magenes [4], concerning the so-called very weak solutions, when the data are less regular. Thanks to the interpolation theory, it permits us to extend the classes of solutions and then to obtain new results of regularity.
Bibliographie
• [1] C. Amrouche, M. Moussaoui, H.H. Nguyen. Laplace equation in smooth or non smooth domains. Work in Progress.
• [2] B.E.J. Dahlberg, C.E. Kenig, J. Pipher, G.C. Verchota. Area integral estimates for higher order elliptic equations and systems. Ann. Inst. Fourier, 47 (1997), no. 5, 1425--1461.
• [3] D. Jerison, C.E. Kenig. The Inhomogeneous Dirichlet Problem in Lipschitz Domains, J. Funct. Anal. 130, (1995), 161--219.
• [4] J.L. Lions, E. Magenes. Problèmes aux limites non-homogènes et applications, Vol. 1, Dunod, Paris, (1969).
• [5] J. Necas. Direct methods in the theory of elliptic equations. Springer Monographs in Mathematics. Springer, Heidelberg, (2012).
• [6] G.C. Verchota. The biharmonic Neumann problem in Lipschitz domains. Acta Math. 194 (2005), no. 2, 217--279.


• 10h25-11h05: El Maati Ouhabaz
  Régularité maximale des équations d'évolution non-autonomes.
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El Maati Ouhabaz (IMB, Université Bordeaux 1).
Régularité maximale des équations d'évolution non-autonomes

La régularité maximale \(L^p\) des équations non-autonomes \(u'(t) + A(t) u(t) = f(t), \ u(0) = u_0\) consiste à montrer que si \(f \in L^p\) alors le problème d'évolution admet une solution unique \(u \in W^{1,p}\). Contrairement au cas autonome \(A(t) = A\) où l'on dispose de critères pour cette propriété, la cadre ci-dessus présente de nouvelles difficultés. Le cas \(p = 2\) correspond à un problème énoncé par J.L. Lions en 1960 et n' a été résolu que recemment. Le but de cet exposé est d'expliquer quelques avancées récentes sur ce problème. Nous donnerons également quelques applications à des équations non-linéaires.

• Coffee break


• 11h40-12h20: Kamel Hamdache
  Solutions globales de l'équation de Landau-Lifshitz-Bloch.
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Kamel Hamdache (Pôle Léonard de Vinci, DVRC La défense Paris).
Solutions globales de l'équation de Landau-Lifshitz-Bloch

L'équation de Landau-Lifshitz-Bloch (LLB), introduite par Garanin, est l'interpolation de l'équation de Landau-Lifshitz (valable pour des températures plus petites que la température de Curie) et l'équation de Bloch qui est valide pour les températures plus grandes que la température de Curie. Ainsi (LLB) est valable pour toute température positive. On établit l'existence globale en temps de solution de (LLB) en utilisant des méthodes classiques d'estimations de l'énergie, de régularisation et d'approximation.

Lunch break



• 14h00-14h40: Ahmed Medeghri
  Equations différentielles abstraites et applications à divers problèmes concrets.
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Ahmed Medeghri (Laboratoire de mathématiques pures et appliquées, Université Abdelhamid Ibn Badis, Mostaganem, Algérie).
Equations différentielles abstraites et applications à divers problèmes concrets
En 1989 j'ai commencé mon apprentissage de la théorie des équations différentielles abstraites (ou à coefficients opérateurs) sous la direction du Professeur Rabah Labbas. Le document de base était sa thèse d'état avec quelques notions pré-requises suivies dans son cours de DEA : les semi-groupes (livre de Pazy) ; les espaces d'interpolation (Lions-Peetre) et les sommes d'opérateurs linéaires (approches de Da Prato-Grisvard; Labbas-Terreni et Dore-Venni). Plus tard, on s'est intéressé (en co-encadrant des thèses) à l'étude d'équations différentielles elliptiques (selon Krein) complètes, du second ordre; à coefficient opérateur (autonome ou variable) avec divers types de conditions aux limites (Dirichlet; Neumann, mêlés; Robin; non locales) généralisées (i.e.: à coefficients opérateurs) dans le cadre Höldérien ou Lp.
L'objectif étant de trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur les données pour avoir l'existence, l'unicité et la régularité maximale de la solution. La méthode se base sur la construction d'une représentation de la solution en utilisant les intégrales de Dunford ou les semi-groupes. L'analyse des termes de cette représentation permet de trouver le résultat de régularité. Dans chaque cas, on a appliqué nos résultats à des exemples concrets régis par des EDP. Ces travaux ont aboutis à la publication de plusieurs articles ainsi que la soutenance de plusieurs thèses.
Dans cet exposé, je vais citer les principaux problèmes étudiés à travers ces années avant de focaliser sur le dernier travail en commun (2018), qui concerne l'étude spectrale d'un opérateur de dispersion d'une population dans deux habitats sous des conditions représentant le comportement des individus aux frontières. On montre qu'il est générateur infinitésimal d'un semi-groupe analytique, ce qui est essentiel pour l'étude du problème d'évolution correspondant. Les résultats étendent ceux de Cantrell, R. S., and Cosner, C. (dimension 1) à deux dimensions.
Bibliographie
• [1] A. Pazy, Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New York, 119 (1983).
• [2] J. L. Lions et J. Peetre, Sur une classe d'espaces d'interpolation, Inst. Hautes Etudes Sci. Publ. Math., 19 (1964), 5-68.
• [3] G. Da Prato et P. Grisvard. Sommes d'Opérateurs Linéaires et Equations Différentielles Opérationnelles, J. Math. Pures Appl. IX Ser. 54 (1975), 305-387.
• [4] R. Labbas et B. Terreni. Sommes d'opérateurs linéaires de type parabolique, 1ère Partie. Boll. Un. Math. Ital. 1-B (7) (1987), 545-569.
• [5] G. Dore and A. Venni. On the Closedness of the Sum of two Closed Operators, Mathematische Zeitschrift, 196 (1987), 270-286.
• [6] R. Labbas. Problèmes aux Limites pour une Equation Différentielle Abstraite de Type Elliptique, Thèse d'état, Université de Nice, 1987.
• [7] S. G. Krein. Linear Differential Equations in Banach Spaces, Moscou, 1967.
• [8] R.S. Cantrell and C. Cosner. Diffusion Models for Population Dynamics Incorporating Individual Behavior at Boundaries: Applications to Refuge Design, Theoretical Population Biology 55, 189-207 (1999).
• 14h45-15h25: Nicolas Forcadel
  Passage micro-macro et application au trafic routier.
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Nicolas Forcadel (LMI, Insa de Rouen).
Passage micro-macro et application au trafic routier.

Le but de cet exposé est de montrer comment on peut déduire des modèles macroscopiques de trafic routier à partir de modèles microscopiques contenant des perturbations locales. A l'échelle microscopique, nous considèrerons un modèle du premier ordre de type "follow the leader", c'est à dire dans lequel la vitesse d'une voiture dépend seulement de la distance à la voiture la précédant. Dans un premier temps, nous considèrerons une perturbation locale située à l'origine qui fait ralentir les voitures. Au niveau macroscopique, on s'attend à obtenir une équation de Hamilton-Jacobi à gauche et à droite de la jonction et une condition de jonction à l'origine (comme étudié dans les travaux récents de C. Imbert et R. Monneau). Cette condition de jonction permet de voir l'influence de la perturbation microscopique au niveau macroscopique. Nous considérerons également le cas d'une jonction avec une route se séparant en plusieurs. Il s'agit de travaux en collaboration avec W. Salazar et M. Zaydan.

• Coffee break


• 16h00-16h40: Adel Blouza
  Elastic porous shell modeling.
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Adel Blouza (LMRS, Université de Rouen).
Elastic porous shell modeling

Poroelastic models describe the linked interaction between fluids and deformation in porous media. Porous thin structures and particularly shells and their interaction with fluids are part of wide variety of issues and a largest interest for contemporary engineering. The purpose of my talk is the derivation of a porous Cosserat shell model where stretching, bending and transverse shears are taken into account for saturated media. After recalling some recent results on elastic shell theory, I will present an existence and uniqueness result for our Biot/Naghdi coupled equations. I will put a particular emphasis on the numerical methods used to simulate the shell displacement as well as the porous pressure.

• 16h45-17h25: Stéphane Maingot
  Sur une équation différentielle complète d'ordre 2 à coefficients opérateurs.
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Stéphane Maingot (LMAH, Université Le Havre Normandie).
Sur une équation différentielle complète d'ordre 2 à coefficients opérateurs

La résolution de nombreux problèmes aux limites concrets peut se ramener à l'étude d'une équation différentielle opérationnelle du second ordre \[ u^{\prime \prime }(x)+2Bu^{\prime }(x)+Au(x)=f(x),\quad x\in (0,1), \] avec des conditions aux limites (scalaires ou opérationelles) de type Robin \[ \left\{ \begin{array}{l} hu^{\prime }(0)-Hu(0)=d_{0} \\ ku^{\prime }(1)+Ku(1)=d_{1}. \end{array}% \right. \] On se propose ici d'étudier de tels problèmes différentiels dans 2 cadres fonctionnels distincts \(f\in L^{p}(0,1;X)\), (\(1 < {p} <\infty\)), ou \(f\in C^{\theta }([0,1];X),~(0<\theta < 1)\), en détaillant les techniques utilisées, les outils mis en jeu, les résultats obtenus incluant le cadre opérationnel non commutatif (\(A,B,h,H,k,K\) sont des opérateurs linéaires dans \(X\), ne commutant pas entre eux).

• Gisella Croce, Stéphane Maingot, David Manceau, LMAH, Université Le Havre Normandie.
• Adel Blouza, LMRS, Université de Rouen Normandie.